יהודה נולד בי"ג בטבת תרע"ד (11 בינואר 1914) להוריו דוד וחנה ברטה גוטשטיין בעיירה גוטה (Gotha) שבגרמניה, אח לג'ני שנולדה בשנת 1909 ולגוסטה רות שנולדה בשנת 1911.
על אף מוצאו מסביבה מתבוללת הצטרף יהודה אל תנועות הנוער הציוניות"ברית העולים" ו"הבונים". בגיל 18, עם סיום לימודיו בבית הספר התיכון, יצא להכשרה חקלאית בחוות גוט וינקל בסמוך לברלין. כחמישה חודשים הכשיר עצמו לחיי חברה ועבודה.
ביום 18 במרץ 1933 עלה בגפו ארצה והצטרף לקיבוץ גבעת ברנר. על אף גילו הצעיר והכשרתו הקצרה הוא תפס עמדה חשובה בכל משימה שנשלח אליה. בשנת 1934 נחלץ לסייע בשמירת העבודה העברית במושבה כפר סבא.
ב-18 באוגוסט 1935 עלו הוריו מגרמניה באונייה 'מריה לואיזה' והצטרפו אליו לגבעת ברנר.
עם קבוצת נטיעות נשלח יהודה לבאר טוביה, ובימי המאורעות הראשונים של שנת תרצ"ו (1936) שימש בתפקיד מאותת על הגג.עם הרחבת מפעל האשלג בסדום התנדב יהודה לעבוד שם ונשאר במקום שלוש שנים כשהוא מקבל כל תפקיד שהוצע לו ובכלל זה "תקיעת היתדות", אחת העבודות הקשות בסדום שרק מעטים עמדו בה. בחודשים הראשונים עבד שם יום יום בחפירה, ולימים הכירו הממונים עליו באחריותו ובכישרונותיו ומסרו לידיו את התפקידים המורכבים ביותר. הכול אהבוהו, מן הפועלים הפשוטים ועד לחברי ההנהלה. מסדום חזר יהודה לקיבוצו גבעת ברנר, שם היה גם חבר בוועדת התרבות ופעיל בסידור העבודה. הליכותיו חיבבוהו על ילדי הקבוצה שהקיפוהו תמיד. "הם האמת היחידה", אמר פעם. אך לא עברו ימים רבים וכבר צורף ל'קבוצת הטנדר' של נוטרים שתפקידה לבדוק ולאבטח את הדרכים בסביבה. זמן מה עשה בגדרה, וכששב לגבעת ברנר ביקש סוף סוף להשתקע בבית משלו והחל לבנות לעצמו צריף ("ליפט"). ביגיעה רבה אסף חומרים לבנייה אך לא הספיק להשלימו.
ביום א' באייר תרצ"ט (20 באפריל 1939), בצאת הטנדר ובו שבעה נוטרים לאבטח את דרכם של אנשי קבוצת חולדה, עלה הטנדר על מוקש.
על פי עדותו של עקיבא אטלס, אחד הנוסעים בטנדר, יהודה נהרג במקום, וחברו צבי ביהם נפצע קשה, ונפטר בבית חולים הדסה בתל אביב. כמו כן נפצעו עוד כמה מן הנוטרים.
יהודה היה בן 25 במותו, והובא לקבורה עם חברו צבי בקיבוצם גבעת ברנר.
יהודה הניח את הוריו בקיבוץ גבעת ברנר ואת אחותו גוסטה רות וילסון בתל אביב. בנה, יהודה וילסון, נקרא על שם דודו יהודה גוטשטיין. האחות ג'ני גוטשטיין, שסירבה לעלות עם ההורים לפלשתינה, נספתה בשואה בשנת 1943.
קיבוץ גבעת ברנר הוציא לזכרו של יהודה חוברת ובה דברי חברים וילדים על דמותו. אחד המשתתפים בחוברת תיארו כ"נפש השואפת אל הנעלה ביותר... יהודה קורץ מאותו חומר שממנו קורצו בני אדם המצעידים את העולם קדימה".
שמו של יהודה הונצח באנדרטאות:
גן הנצחה לבני היישוב שנפלו במערכות ישראל, גבעת ברנר
יד לנופלים בני התנועה הקיבוצית יערות מנשה (משמר העמק)
שם אמו וסיפור חייו מופיע באופן חלקי באתר יזכור של משרד הבטחון.
שם אמו נמצא וסיפור חייו הושלם בשנת 2025 ע"י מתנדבי ארגון "לתת פנים לנופלים"